\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
}
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\usepackage{physics}
\graphicspath{ {./} }
\usepackage{ctex}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}

\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{$L$是唯一的吗？}
	\footnote{参考：任延宇《分析力学》线上课程，朗道《力学》}
	在经典力学中，势能零点可以相对任意地选取（使势能相差一个常数），而不改变物理规律：
	\begin{equation}
		V\rightarrow V +C  
	\end{equation}
	这是因为
	\begin{equation}
		\bvec F = - \grad V
	\end{equation}
	常数项在对空间求导之后就没有了。因此，势能的常数项不影响从势能导出的力。
	
	那么Lagrange量是否有类似结论呢？答案是有的，
	Lagrange量也可以相差一个常数而不改变物理规律：
	\begin{equation}
		\text{比较粗浅的结论:} \qquad L \rightarrow L+C
	\end{equation}
	类似地，在Euler-Lagrange方程中，常数项在求导后也消失了：
	\begin{equation} 
		\dv{}{t} \pdv{L}{q'} = \pdv{L}{q}
	\end{equation}
	不过更确切地说，Lagrange函数可以相差一个“关于时间和坐标的任意函数的时间全导数项”，而仍不改变物理规律。
	\begin{equation}
		\text{比较精确的结论:} \qquad L \rightarrow L+f \qquad f = \dv{}{t}F(q,t)
	\end{equation}
	
	\newpage
	
	\subsection{从最小作用量原理证明}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			\begin{axis}[
				axis lines = middle,
				xlabel = {路径},
				ylabel = {$S$},
				xlabel style = {right},
				ylabel style = {above},
				xmin = 0, xmax = 5,
				ymin = 0, ymax = 5,
				width=6cm,
				height=6cm,
				xticklabels=\empty,
				yticklabels=\empty
				]
				% 三条平行曲线（仅相差一个常数）
				\addplot [
				domain=1:4,
				samples=100,
				color=red,
				thick
				] {1/2*(x-3)^2+1};
				\addplot [
				domain=1:4,
				samples=100,
				color=blue,
				thick
				] {1/2*(x-3)^2+2};
				\addplot [
				domain=1:4,
				samples=100,
				color=green,
				thick
				] {1/2*(x-3)^2+3};
				\draw[dashed, gray, thick] (axis cs:3,0) -- (axis cs:3,10);
				\node at (axis cs: 3,4.5) {$\delta S = 0$};
				
				% 标注每条曲线对应的作用量
				\node[color=red, above] at (axis cs: 3,1.2) {$S_0$};
				\node[color=blue, above] at (axis cs: 3,2.2) {$S_1 = S_0 + \Delta F_1$};
				\node[color=green, above] at (axis cs: 3,3.2) {$S_2 = S_0 + \Delta F_2$};
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
		\caption{示意图：$L$ 相差 $\dv{}{t}F$ 时，$S$ 仅相差常数 $\Delta F$，极值点位置（$\delta S=0$）不变}
	\end{figure}
	
	我们假设
	\begin{equation}
		L = L_0 + f, f = \dv{}{t}F(q,t)
	\end{equation}
	对于$L_0$，其作用量及其变分是
	\begin{equation}
		S_0 = \int_{t_0}^{t_1} L_0 \dd t \qquad \delta S_0 =  \int_{t_0}^{t_1} \delta L_0 \dd t 
	\end{equation}
	对于$L$，其作用量及其变分是
	\begin{equation}
		S = \int_{t_0}^{t_1} (L_0 + \dv{}{t}F )\dd t
		= \int_{t_0}^{t_1} S_0 \dd t + F(q^{(t=t_1)},t_1)- F(q^{(t=t_0)},t_0)
		\qquad 
		\delta S = \int_{t_0}^{t_1} \delta L_0 \dd t 
	\end{equation}
	$\int \dv{}{t}F \dd t $在积分后变为其在始末位置的差$\Delta F$。
	而由于我们假定系统始末状态不变，
	因此这项对于变分是一个常数，不会影响变分的结果，也不会影响由变分导出的Euler-Lagrange方程。
	证毕。
	
	\subsection{从Euler-Lagrange方程证明}
	我们仍然假设
	\begin{equation}
		L = L_0 + f, f = \dv{}{t}F(q,t)
	\end{equation}
	首先我们使用多元函数链法则写下：
	\begin{equation}
		f = \dv{}{t} F(q,t) = \pdv{F}{q} q' + \pdv{F}{t}
	\end{equation}
	对于$L_0$，Euler-Lagrange方程是
	\begin{equation}
		\dv{}{t} \pdv{L_0}{q'}=\pdv{L_0}{q}
	\end{equation}
	对于$L$，Euler-Lagrange方程的左半边
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\dv{}{t} \pdv{L}{q'} & = \dv{}{t} \pdv{L_0}{q'} + \dv{}{t} \pdv{f}{q'} \\
			& = \dv{}{t} \pdv{L_0}{q'}+ \dv{}{t} \pdv{(\pdv{F}{q} q' + \pdv{F}{t})}{q'}\\
			& = \dv{}{t} \pdv{L_0}{q'}+ \dv{}{t} \pdv{F}{q} \qquad \text{$F$不显含$q'$}\\
			& = \dv{}{t} \pdv{L_0}{q'}+ \pdv{\pdv{F}{q}}{q}q' + \pdv{\pdv{F}{q}}{t}  \\
			& = \dv{}{t} \pdv{L_0}{q'}+ \pdv[2]{F}{q}q' + \frac{\partial^2 F}{\partial q \partial t}  \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	$F=F(q,t)$的偏导$\pdv{F}{q}$仍可以视为一个关于$(q,t)$的函数$\pdv{F}{q}=\pdv{F}{q} ~(q,t)$。
	因此求$\dv{}{t}\pdv{F}{q}$时仍需使用链式法则（在这里可以把$\pdv{F}{q}$看作一个函数的名称）。
	右半边
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\pdv{L}{q} & = \pdv{L_0}{q} + \pdv{f}{q} \\
			& = \pdv{L_0}{q} + \pdv{(\pdv{F}{q} q' + \pdv{F}{t})}{q} \\
			& = \pdv{L_0}{q} + \pdv[2]{F}{q}q' + \frac{\partial^2 F}{\partial q \partial t}  \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	因此
	\begin{equation}
		\dv{}{t} \pdv{L_0}{q'}+ \pdv[2]{F}{q}q' + \frac{\partial^2 F}{\partial q \partial t}  =  \pdv{L_0}{q} + \pdv[2]{F}{q}q' + \frac{\partial^2 F}{\partial q \partial t}
		\Rightarrow  \dv{}{t} \pdv{L_0}{q'}=\pdv{L_0}{q}
	\end{equation}
	这与从$L_0$直接推出的Euler-Lagrange方程是一样的。证毕。
	
\end{document}
